синтез с использованием методов многомерной оптимизации

Пусть число слоев покрытия равно N, и показатели преломления каждого слоя известны (вопрос выбора числа слоев и их показателей преломления может быть рассмотрен как отдельная задача, и возможный подход к ее решению будет изложен ниже).

В такой постановке задача синтеза сводится к определению геометрических толщин слоев d₁,:.,d_N. Если ввести N-мерное пространство параметров X, то решение будет определяться вектором толщин

x={d₁,:.,d_N},

а целевой функционал (3.2) перепишется в форме

                                                               (3.3)

Это классическая задача оптимизации существенно нелинейной функции многих переменных F(x) в ограниченной области. Ограничения накладываются прежде всего физическими условиями (d_i>0). Также возможно наличие технологических ограничений (например, на толщину каждого слоя или общую толщину покрытия).

Таким образом, разумно использовать методы теории оптимизации для поиска локального или глобального минимума целевой функции покрытия известной структуры. В данной работе был использован метод проектированного градиента, позволяющий находить локальный минимум, близкий к заданному нулевому приближению x₀.

2.2.3 Метод проектированного градиента

Рассмотрим задачу минимизации функции F(x) с линейными ограничениями-неравенствами:

                                                                                        (3.4)

Очевидно, условия можно переписать в матричной форме, где знак будет означать, что каждая координата вектора правой части неравенства больше соответствующей координаты вектора левой части:

                                                                                              (3.5)

Выберем нулевое приближение x₀={d₀₁,:.,d_0N}, которое удовлетворяет всем ограничениям. Выберем также направление d=-grad(F(x₀)). В этом направлении целевая функция будет быстрее всего убывать при бесконечно малом движении из точки x₀. Вдоль прямой x=x₀+dt целевая функция зависит только от одной переменной t: F(x₀+dt)=(t).

Определим t₀ - точку минимума функции (t) (для этого можно использовать различные методы одномерной оптимизации, например, метод дихотомии или золотого сечения, см., например, [63]). t₀ определяет вектор приращения  

Очевидно, что он может вывести вектор толщин за пределы области, ограниченной условиями (3.5). Для учета условий будем использовать список активных условий. Он будет содержать те условия, для которых в данный момент выполнено равенство:

.                                                                                           (3.6)

Для этих условий запишем матрицу  - матрицу активных условий.

Прежде всего, проверим, что все ограничения в списке активных существенны, т.е.

                                                                                          (3.7)

Если это не так, выкинем из списка то ограничение, для которого  максимально.

Таким образом, движение в направлении любого из векторов-строк матрицы  приведет к выходу за ограничения. Значит, необходимо спроецировать вектор  на некоторое подпространство, ортогональное подпространству, определяемому векторами-строками . Можно показать, что для этого необходимо использовать следующий проектор:

                                                                          (3.8)

Таким образом, проектированный вектор приращения будет вычисляться как

                                                            (3.9)

После этого последовательно проверим все неактивные ограничения, и если какое-нибудь из них нарушено, спроецируем также вектор приращений на подпространство, ортогональное вектору ограничения данного. Одновременно мы можем получить номер самого <близкого> нарушенного ограничения. Включим его в список активных ограничений.

Определим новое приближение x₁:

                                                                                     (3.10)

Очевидно, данный процесс можно продолжать, определяя каждое следующее приближение по формуле

                                                                                    (3.11)

Этот процесс надо прекратить, когда на некотором шаге  выполнится условие . В силу гладкости функции F(x) это будет означать достижение некоторого локального минимума. В действительности лучше использовать условие малости проектированного вектора приращения:

,                                                                                          (3.12)

где - некоторое малое заранее выбранное пороговое значение.

Можно показать, что при отсутствии ограничений и в достаточно близкой окрестности минимума, где F(x) представима положительно определенной квадратичной формой, определяемой матрицей A с собственными значениями , метод линейно сходится, причем

.                                          (3.13)

Таким образом, если мы находимся вблизи достаточно глубокого минимума целевой функции, мы можем улучшить характеристики многослойной системы путем оптимизации в пространстве толщин методом проектированного градиента.

| | | | |