Метод игольчатых вариаций (адмиттансный подход)

Метод игольчатых вариаций предполагает изменение показателя преломления на малом участке z толщины пленки (рис. 3.1). Этот участок будем называть <иглой>.

Очевидно, что, выбирая различные точки для расположения <иглы> мы будем получать различные приращения целевого функционала. Задача заключается в том, чтобы найти оптимальную точку для игольчатой вариации, т.е. точку, соответствующую наибольшему убыванию целевого функционала при изменении показателя преломления иглы.

Рассмотрим целевой функционал в форме (3.2). Определим функцию показателя преломления после применения игольчатой вариации в точке :

                                                                  (3.14)

Тогда  будет соответствующим ему решением уравнения адмиттанса:

                                                            (3.15)

Обозначим изменение адмиттанса, вызванное игольчатой вариацией в точке , следующим образом:

                                                                    (3.16)

Тогда вследствие (2.11, 3.15) для него будет справедливо выражение:

                                                            (3.17)

Несложно вывести изменение целевого функционала (3.2), вызванное игольчатой вариацией в точке :

                                 (3.18)

Запишем так называемое сопряженное уравнение:

                                                                      (3.19)

Граничное условие в точке z=0 для него будет определятся так:

                                         (3.20)

Несложно видеть, что

                                                                        (3.21)

Введем обозначение:

                                                                  (3.22)

Тогда выражение для вариации целевой функции (3.18) перепишется в виде:

                                                                       (3.23)

Формулы (3.19,3.20,3.22,3.23) позволяют рассчитать оптимальное (в смысле первой вариации целевого функционала) положение для вставки <иглы> с новым показателем преломления, что в терминах целевой функции (3.3) означает переход в пространство большей размерности.

Таким образом, совместное использование метода игольчатой вариации и методов многомерной оптимизации позволяет продолжать процесс синтеза, увеличивая число слоев покрытия, пока в определенный момент не окажется, что

                              (3.24)

На этом процесс оптимизации необходимо прекратить.

Метод игольчатых вариаций (матрицы интерференции)

Оказывается, что в ряде случаев предпочтительней использовать матричный, а не адмиттансный формализм. Это может вызываться, например, наличием условий на допустимую амплитуду электрического поля в синтезируемом покрытии. Таким образом, целесообразно разработать численный метод игольчатой вариации, использующий матричный формализм, и построить алгоритмы его эффективной реализации.

Для простоты будем рассматривать многослойное покрытие, состоящее из N однородных слоев, характеризующихся толщиной d_j и комплексным (в общем случае) показателем преломления.

Будем рассматривать целевой функционал в виде (3.2). Найдем его производную по показателю преломления j-го слоя покрытия n_j. Учтем при этом, что отражательную способность можно представить в виде :

(3.25)

Несложно проверить справедливость следующей формулы для производной :

               (3.26)

Преобразуем выражение для   из (2.21) в следующую форму:

                             (3.27)

(3.28)

          (3.29)

Теперь несложно вычислить и производную  с использованием формул (3.26-3.29):

                  (3.30)

Перепишем ее в следующем виде:

                     (3.31)

Подставим в формулу (3.31) выражение (3.26) для :

                    (3.32)

Подставляя это выражение в формулу (3.25), мы получим аналитическое выражение для производной целевого функционала по показателю преломления j-го слоя через производные матричных элементов характеристической матрицы покрытия. Очевидно, что аналогичная формула справедлива и для производной по толщине j-го слоя.

Для матрицы j-го слоя M_j (2.26) несложно найти производную по показателю преломления:

            (3.33)

Формула (2.31) позволяет найти и производную характеристической матрицы всего покрытия:

                                                                    (3.34)

Используем формулы (3.25, 3.32, 3.33, 3.34) для нахождения игольчатой вариации функционала (3.2). В самом деле, точки ,  (3.14) разбивают покрытие на три части:

1)       Прилежащую к внешней среде (). Описывается матрицей .

2)       Тонкий слой с показателем преломления , в котором осуществляется игольчатая вариация (). Описывается матрицей .

3)       Прилежащую к подложке (). Описывается матрицей .

Таким образом, вычислив матрицы ,  и определив   по формуле (3.33), мы можем применить формулы (3.25, 3.32, 3.34) для вычисления игольчатой вариации функционала (3.2).

Однако последовательное вычисление в соответствии с этими рассуждениями для каждого возможного значения  будет слишком трудоемко в силу большого количества разбиений, необходимых для удовлетворительного выбора места вставки <иглы>. Необходимо использовать более эффективный подход.

В самом деле, введем равномерную сетку разбиений на z и осуществим перебор значений  по этой сетке с заданным постоянным значением . Пусть число разбиений значительно больше числа слоев.

Можно записать шаг разбиения и координаты точек в следующем виде:

                                                                                          (3.35)

Тогда можно определить толщины частей покрытия, лежащих до иглы и после иглы, следующим образом:

                                                          (3.36)

Матрицы этих частей обозначим для каждой точки соответственно как M_oj и M_sj. Выражение (3.36) позволяет путем несложных итеративных вычислений построить два множества матриц: {M_O} и {M_S}.

В самом деле, положим, что нам уже известна матрица M_Oj. Тогда в силу свойств характеристических матриц многослойных покрытий матрицу M_Oj+1 можно представить в следующем виде:

,                                                                             (3.37)

где  - матрица тонкого слоя, заключенного между Z_j и Z_j+1.

Аналогичное выражение можно записать и для матриц {M_S}:

,                                                                              (3.38)

где  - матрица тонкого слоя, заключенного между Z_j+dz и Z_j+1+dz.

Матрицу варьируемого тонкого слоя обозначим . Ее производную по показателю преломления, вычисляемую согласно формуле (3.33), обозначим . Тогда несложно вычислить и производную характеристической матрицы покрытия в соответствии с формулой (3.34). Обозначим ее .

Также определим множество n_avail={n₁, n₂, :., n_X} - множество, определяющее показатели преломления доступных при синтезе материалов.

Это позволяет выбрать следующее простое правило для выбора координаты вставки иглы  и показателя преломления :

                                              (23)

Конечно, необходимо проверять выполнение условия . Если пар  окажется две или более, выберем пару с наименьшим Z. Возможно, однако, выбрать и все такие пары. В некоторых случаях это может сократить количество итераций, необходимых для проектирования покрытия. Однако в общем случае одновременное осуществление нескольких вариаций может оказаться и невыгодным.

| | | | |