Метод характеристических матриц

Решения и начальные условия систем (2.6, 2.8) можно представить двумерным вектором

.                                                                   (2.18)

Причём в силу линейности систем (2.6, 2.8) справедливо выражение

.                                             (2.19)

Поскольку в силу закона сохранения энергии определитель матрицы N равен единице, столь же справедливо будет и обратное выражение:

.                                   (2.20)

Матрицу M называют характеристической матрицей слоистой среды [21, 22]. Она связывает величину электромагнитного поля на передней границе системы с его величиной в любой точке внутри слоистой среды.

Простая линейная зависимость между электромагнитными полями на границах слоистой среды позволяет[21] найти амплитудные коэффициенты отражения и пропускания для системы, характеризующейся матрицей М:

                                             (2.21)

Как было указано выше, в качестве граничных условий удобно выбрать условия на верхней границе системы (z=h). Поскольку при z>=h свет распространяется как плоская волна, можно положить

                                                                                      (2.28)

Это соотношение позволяет рассчитать распределение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей во всем многослойном покрытии. Для этого достаточно вычислить матрицу M как функцию координаты z и рассчитать соответствующие значения поля по формулам (2.18, 2.20).

Из всего вышесказанного следует, что решение задачи распространения плоской волны в слоистой среде сводится к нахождению соответствующей характеристической матрицы.

Для однородной плёнки (см. рис.2.3) система (2.6) является системой однородных уравнений, и ее общее решение имеет следующий вид:

                               (2.22)

Неизвестные коэффициенты A,B,C,D, используя соотношения (2.6), легко выразить через значения поля на передней границе системы:

.                                             (2.24)

Это позволяет записать общее решение системы (2.6) в виде:

.         (2.25)

Таким образом, получим следующие выражения для матриц N и M:

,                   (2.26)

где

                (2.27)

Теперь рассмотрим систему, состоящую из двух слоев (см. рис. 2.4). Несложно рассчитать  характеристическую матрицу каждого слоя M_i(h_i). Тогда будут справедливы следующие выражения:

.                                                     (2.29)

Подставив значение Q(z₁) из второго уравнения в первое, мы по определению получим выражение для характеристической матрицы системы :

.                                                            (2.30)

Этот подход можно очевидным образом обобщить на сколь угодно большое конечное количество слоев. Таким образом, общую формулу для характеристической матрицы многослойной системы, состоящей из N слоев, можно записать в виде:

,                                         (2.31)

где h₁,h₂,...,h_N - толщины слоёв.

| | | | |